可逆Duffing方程的拟周期解---任廷建 - 江苏省淮安工业中等专业学校

可逆Duffing方程的拟周期解---任廷建
2005/12/7 　　网管中心　　　关注度:1549
可逆Duffing方程的拟周期解
任廷建

摘要本文证明拟周期Duffing方程
+ax+bx3=μp(ω1t，ω2t，…ωnt)，
p(t)=－p(t)，a，b，μ为常数，μ充分小，对大多数（ω1，…ωn）有频率（ω1，…ωn）的拟周期解。
关键词 KAM定理，拟周期解
中国法分类号 O156.2

1 引言和结果
1965年，Moser在文[1]中研究了具有周期强迫力的可逆方程
+x+bx3=μp(ω1t，…，ωnt，x，x) ⑴
其中p(－t ，x，－x)= p(t ，x，x)。他证明了当μ充分小且ω=（ω1，…，ωn）满足Diophantine条件
││>v│k│-x, v>0, x>n-1, k∈Zn－
时，存在充分小的α(μ)，使得下面的修正方程
+(1+α(μ))x+bx3=μp(ω1t，…，ωnt，x，x) ⑵
有频率为ω=（ω1，…，ωn）拟周期解，文[1]还指出修正项a(v)是必不可少的。文[2]证明了方程⑴本身有无穷多个拟周期解。但所得拟周期解的频率为（λω1，…，ωn），其中λ来自系统的固有频率，ω=（ω1，…，ωn）的外力的频率。
在这个注记中，我们将证明如果p(－t ，－x， x)= －p(t ，x，x)，则Moser所研究的方程⑴本身有外力频率（ω1，…，ωn）一样的拟周期解
为简单起见，我们考虑下列很典型的特例
+ax+bx3=μp(ω1t，…，ωnt) ⑶
p(t)=－p(t)，a，b∈R1，我们的具体结果为
定理1 设O Rn是有界开集，则若(ω1t，…，ωnt)是拟周期解析函数，且p(t)=－p(t)则存在O# O，O#是一个几乎全测度的Cantor集使得对ω∈O#及充分小的μ，⑴有形如x=x(ω1t，…，ωnt)的拟周期解。
2 定理1的证明
考虑（x，y，θ）∈T1×R1×Rm中的Hamilton系统
= ， =ω， =y， =－ ⑷
其Hamilton函数为h(θ, I, x, y)= <ω, I>+ y2+f(x, θ)，其中f(－θ, x)= f(θ, x)，ω∈O，O Rn是有界开集，我们有
定理2 如果│f│在(x, y)=(0, 0)的邻域内充分小，则存在一个几乎全测度的Cantor集O# O，使得当ω∈O#时，方程⑷在(θ, I, x, y)空间中有频率为ω的m维不变环面，并且不变环面上的解有如下形式
x(t)= μ(ω1t，…，ωnt), y(t)=v(ω1t，…，ωnt),
I(t)= ω(ω1t，…，ωnt), θ(t)= ωt ⑸
这个定理是可逆系统低维环面（法频率可能为零）的KAM定理的一种形式。我们给出这种形式的KAM定理的原因是它便于应用到二阶振动方程上去。由于其证明方法和Hamilton系统的KAM定理基本类似，这里不再赘述（参见[3]）。
注：一般情况下，KAM环面的频率会发生漂移，如果⑷的右端不显含I则频率不会漂移。
注：O#中的ω都满足Diophantine条件。
现在我们来证明定理1.考虑引言中的方程⑶
+ax+bx3=μp(ω1t，…，ωnt)
p(－t)= －p(t)，从所周知⑶等价下面的一阶方程组
=y， =－ax=bx3+μp (θ)， =ω ⑹
我们下面考虑一个放大了的Hamilton系统
=－μx =ω， =y， =－ax=bx3+μp (θ) ⑺
其Hamilton函数为
H(θ, I, x, y)= <ω, I>+ y2+ ax2+ bx4－μxp(θ)
由定理2知，当μ充分小时，⑺有形如⑸的拟周期解。由于系统⑹的右端不显含I，从而⑸中
x(t)= μ(ω1t，…，ωnt), y(t)=v(ω1t，…，ωnt), θ(t)= ωt ⑻
是⑹的解，从而x(t)= μ(ω1t，…，ωnt)是⑶的解。定理1证毕。
注定理1对高维系统也成立，即
ax +b (│x│4)=μp(ω1t，…，ωnt), x∈Rn，
当μ充分小时，对几乎所有的ω有拟周期解。

参考文献
1、Moser, J. , Combination tones for Duffing's equations, Communications in Pure Applied Mathematrics, 18, 1965.
2、尤建功，柳彬，拟周期解主程的KAM环面，南京大学学报数学半年刊（增刊），1993。
3、You,J. , KAM tori in the resonant zone of reversible Hamiltonian systems, to appear in Proceedings of the international Conference in Dynamical Systems in Honor of Prof. Liao Shantao, Wrold Scientific Publisher, 1999.

（本文发表于《南京大学学报》<数学半年刊>）