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  • 准素TL理想和P-准素TL理想---任廷建
  • 2005/12/7 　　网管中心　　　关注度:1668
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  • 准素TL理想和P-准素TL理想
    任廷建


    摘要：利用一般的完备Brouwer格L及L上的无穷V-分配t-模定义环的P-准素TL理想，并讨论准素TL理想和P-准素TL理想一些基本性质。
    关键词：理想；准素TL理想；P-准素TL理想
    中图分类号：O159，O153.3 文献标识码：A 文章编号：1007-6573（1999）04-0010-02

    在文献[1~3]中，于延栋和王住登引入并讨论了TL理想，TL理想的根和准素TL理想等概念，本文继续文献[3]的工作，引入P-准素TL理想概念，并讨论准素TL理想和P-准素TL理想的一些基本性质。
    本文中，表示任意给定的一个以1为最大元、以0为最小元的至少含有两个元素的完备Brouwer格，T表示L上任意给定的无穷V-分配t-模，R表示任意给定的带单位元的交换环，文中关于t-模、子集、TL理想和TL理想的根等有关概念和符号均与[1~3]同。
    1 准素TL理想
    定义1[3]，设μ∈TLI（R）若μ满足条件
    ξ·Tv≤μ，ξ、v∈TLI（R） ξ≤μ或v≤
    则称μ为R的准素TL理想。
    定理1[3]，若μ∈LR，则μ是R的准素TL理想的充要条件是
    μ=1 V ，
    其中R = 是R的准素TL理想且c是L上T素元。
    定理2[3]，若μ是R的准素TL理想，则 是R的素TL理想。
    定义2 设μ，v∈LR，定义剩余商μ：Tv∈LR如下
    μ：Tv=V
    定理3 设v∈LR且μ是R的准素TL理想，则
    ⑴v≤μ μ：Tv=lR
    ⑵v μ = 。
    证 ⑴若v≤μ，则η·Tv≤lR·Tv≤lR·Tμ=μ， 。因此，
    μ：Tv=V = lR
    ⑵若v μ，且对于η∈LR，有η·Tv≤μ，则由[3]中定理3.3知，η≤ ，于是
    μ：Tv=V ≤
    另一方面，显然有μ≤μ：TlR≤μ：Tv，因此 = = = 。
    定理4 若μ，ξ∈TLI（R）且μ是R的准素TL理想，则
    ⑴ξ μ：Tξ=μ
    ⑵ξ≤μ：TlR =μ：Tξ=lR
    证：⑴假设，若ξ ，若ξ·Tv≤μ，v∈LR，则由[3]中定理3.3知v≤μ，于是
    μ：Tξ=V ≤μ
    另一方面，显然有ξ·Tμ≤lR·Tμ=μ，故μ：Tξ=μ
    ⑵假设ξ≤μ：TlR，则ξ·TlR≤（μ：TlR）·TlR≤μ。因此ξ·Tv≤ξ·TlR≤μ， ∈LR，故
    μ：Tξ= lR
    2 P-准素TL理想
    若μ是R的准素TL理想，则由定理2知P= 是R的素TL理想，称此准素TL理想为P-准素TL理想，P为结合准素TL理想μ的素TL理想。
    下面讨论P-准素TL理想的一些性质。
    定理5 若μ,v∈TLI（R），μ是R的P-准素TL理想，且μ：Tv≠lR，则μ：Tv是R的P-准素TL理想。
    证 假设μ：Tv≠lR，则由定理3知v≤μ，且 = = =P，设η，ξ∈TLI（R），使得η·Tξ≤ ，则η·T（ξ·Tv）=（η·Tξ）·Tv≤（μ：Tv）·Tv≤μ，由于μ是R的P-准素TL理想，因此η≤ = 或ξ·Tv≤μ，于是，η≤ =P或ξ≤μ：Tv是R的P-准素TL理想。
    定理6 设μ,v是R的P-准素TL理想，则μ v亦是R的P-准素TL理想。
    证 若μ,v是R的P-准素TL理想，则由定理1知μ=1 VaR，v=1 VbR，其中R ，RV是R的P-准素TL理想，a, b是L上T素元，且 =l V aR=P= l V bR= 。于是a=b且 = 是R的素理想，显然，μ v=l V aR，由于R ，RV皆为R的准素理想，其结合素理想为 = 。
    另一方面
    (μ v)：TlR=(μ：TlR) (v：TlR)=(l V aR) (l V aR)= l V aR。
    因此。
    = =l V aR=l V aR= = =P。
    故μ v亦是R的P-准素TL理想。

    参考文献：
    ⑴YU Yan-dong, WANG Zhu-deng, TL-subrings and TL-ideas. Part 1:Basic concepts[J].Fuzzy Sets and Systems.1994.68:93.
    ⑵YU Yan-dong, WANG Zhu-deng, TL-subrings and TL-ideas. Part 4:Radicals of TL-ideals [J]. Fuzzy Sets and Systems.1997.88:227.
    ⑶YU Yan-dong, WANG Zhu-deng, TL-subrings and TL-ideas. Part 6:Primary TL-ideas and semiprimary TL-ideals [A].模糊集理论与应用 [M]. 河北大学出版社，1998.255~263.


    （本文发表于《徐州师范大学学报》<自然科学版>）
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