新教材培训: 数列 - 江苏省淮安工业中等专业学校

新教材培训: 数列
2005/12/3 　　网管中心　　　关注度:2910
第十一章数列
(报告人周坚)
一、数列的教育价值
1. 数列有利于学生认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展学生的数学应用意识.
日常生活中遇到的许多实际问题，如贷款、利率、折旧、人口增长、放射物的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画. 数列是刻画离散现象的数学模型.离散现象是自然界中普遍存在的现象，人们往往通过离散现象认识连续现象，这就使得数列在数学中占有重要地位,在高中,把等差数列和等比数列作为重要内容.
2. 数列有助于学生进一步认识和理解函数思想．
在前面章节出现的函数基本是连续函数，数列为学生提供了离散函数模型，将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数联系起来，有助于学生加深对一次函数、指数函数的认识.
二、本章的变化与特点
1. 注重素材的选择与更新.本章选材视野广阔，包括经济生活、生物、体育、自然现象、数学文化等众多方面，并注意了素材的真实性和亲切感.例如：斐波那契数列、彗星、鞋的尺码、植树造林、放射性物质、住房贷款、产值增长、种子繁殖、折旧等等.这些素材极大地增添了数列的丰富内涵，拓宽了学生的知识面和学习空间，为他们生动活泼地学习本章创造了条件.
2. 精心设计概念的引入过程.设计学生经历建立数列模型的过程.
本章内容是通过丰富的实例展开的，这一方面可以使学生体会数列与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用.
数列、等差数列、等比数列这三个概念的引入，都使用了学生熟悉的生活、生产实例，强调在具体的问题情景中，发现数列的等差关系、等比关系.这样，突出了问题意识，可以让学生看到数列的学习与现实的需要和要求密切相关.又可以让学生体验从实际问题中抽象概括出数列模型的过程，学习用数列模型解决问题的方法. 也有助于对数学本质的认识.
等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的引入,是通过真实反映客观世界的、具有生活的原汁原味的例子，使学生经历了从试验到猜想再到发现,可以让学生经历建立数列模型的过程，从中体验用数列解决实际问题的思想方法,帮助学生提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
3. 强调知识的联系与比较.数列知识与众多数学知识都有紧密联系,这种联系不仅能为学生深入理解数列的概念和方法提供条件,而且还能为学生从整体上认识数学、体会数学的思想和方法提供机会.本章编写过程中充分注意了数列的这一特点，在数列与函数的联系与结合上作出了努力.如用解析式、图像、表格序等多种方式表示数列；强调用函数观点认识和理解数列，突出等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的联系, 本章从函数的观点、数学模型的观点、连续与离散的关系的角度认识数列，突出数列的本质. 把数列视为反映自然规律的基本数学模型，把数列融于函数之中.
4. 本章在内容处理上的其中有一个原则是：删除繁琐的计算，注重应用，关注学生对数列模型的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力. 在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路. 在习题安排上,对旧教材的练习题进行调整、删改、增加新习题，保证了学生对所学知识消化的及时性和针对性.
5. 以往本章的内容比较注重数列中各量之间关系的恒等变形.现在，对数列的处理突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.对比传统的教学，学习数列和运用数列解决问题时，本章在注重演绎的同时，还关注观察发现，归纳类比，抽象概括的过程，同时也强调直观感知的过程.
三、总体教学建议与内容安排
1. 本章要求在数列的教学中，发展学生的数学应用意识.
“认识数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力”，是新课程的基本理念和要求，这种理念、要求贯穿于整个内容之中.
2. 在注重引导学生在学好概念的基础上，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度. 教师应精心设计例题，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子. 着重培养学生的能力.
3. 不同行业对数学的要求是不尽相同的，学生的兴趣、志向与自身条件也不同，因此，每个人未来发展所需要的数学基础是不一样的，我们应当以学生的发展为本，尊重他们的个性发展. 为此，本章设置了三个部分：（1）基础部分，（2）提高部分（实际上在《普通高中数学新课标》中也是必修内容，是基础知识），（3）阅读材料.这三个部分为学生的不同需求设置不同的教学内容.为不喜欢数学的学生减轻数学负担，使他们在其他方面得到充分发展. 学校和老师可以根据学生的基本需求（如直接就业或参加对口单招等）及自身的条件，制定学习内容.
4. 本章内容包括数列的概念、等差数列、等比数列以及数列的一些实际应用，重点是对等差数列、等比数列这两类特殊数列的研究.本章共11课时.
四、具体教学建议
1.基础部分(8课时).
(1)数列的概念和简单表示法(2课时).
为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如物品堆放个数的计算：
场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数.
要求在教学中通过日常生活中的实例，从一些有趣的数列模型及背景材料引入数列概念，指出数列可以看作一个定义域为正整数集（或N*的有限集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这样就可将数列与函数联系起来.数列的几种表示方法也与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．通过列举、列表、图像、通项公式表示数列.加深了对数列概念本质的理解.数列的通项公式是关于项与它的序号的关系的式子，使数列与函数的内在联系更加清楚. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系.
(2)等差数列、等比数列(6课时).
①使学生能在具体的问题情景中，理解等差数列、等比数列的概念,发现数列的等差关系和等比关系. 通过各种实际问题，引导学生经历建立等差数列与等比数列这两种数列模型的过程.
②要求学生探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.这里的探索是指学生的自主探索，而教师则起一个指导的作用，这反映了新型的学习方式.探索它们的一些基本数量关系.通过大量的实际应用，使学生理解这两种数列模型的作用. 并能用有关知识解决相应的问题.
用不完全归纳法，得到等差数列、等比数列通项公式. 由高斯算法引出等差数列求和公式. 用错位相减法得到等比数列求和公式.
③在讲解等差数列概念时突出等差数列与一次函数的关系.体会等差数列求和公式与二次函数的联系，在讲解等比数列概念时体会等比数列与指数函数的关系.
④等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，在教学时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别.
2.提高部分(3课时).
其实，这个提高部分的内容还是基础知识.而且很重要，为部分学生日后的进一步学习，或在工作、生活中应用数学，打下更好的基础，是根据学生的实际或专业的需要选学的.学校和老师可以根据学生的具体情况进行安排.提高部分三个内容：
提高部分1 数列与函数
1. 在这里进一步学习数列与函数的关系.教师应及早引导学生发现数列与函数的关系．数列是一种特殊函数,是函数在定义域上某种形式的离散化．等差数列、等比数列又是一次函数、指数函数的离散化.通过举例说明，不论函数形式怎样，在很多情况我们真正所面对的可能不是函数本身，而是函数被离散化后所成的数列．即使用计算机绘函数的图象,也是描点法，只是点足够密,让你感觉在直接画线而已．
2. 我们研究数列可借用函数的研究方法，启发学生仿照函数图象的画法画数列的图象,以书上提到的数列为例，做出一个数列的图象.所得的数列的图象是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3. 给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的.
提高部分2 数列的其他定义形式
①递推数列. 通过具体例子给出数列的递推公式.了解递推公式是给出数列的一种方法，是数列所特有的表示法，并能根据递推公式写出数列的前n项．
它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．　可引导学生举例说明等差数列与等比数列的通项公式也可以用递推公式表示，以检验学生是否理解．
②数列的前n项和Sn与通项公式an的关系.这也是数列的一种表示形式.
对每个数列都有求和问题，可先提出一个具体问题让学生分析Sn与an的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，强调an的表达式是分段的；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．通过由Sn求an的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯．
提高部分3 公比为负数的等比数列.把这个内容放在提高部分的目的是减轻学生的负担.
3.阅读材料.
通过阅读材料，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，使他们了解数学科学与人类社会发展相互的作用，了解数学对人类文明发展的推动作用.
阅读材料1，费波那契数列（费波那契数列是递推数列）；费波那契数列是多么有趣的现象，斐波那契数列真是充满了奇趣！阅读”费波那契数列”可以体会数学的美学价值.
阅读材料2，无穷递缩等比数列. 通过专题开阔学生的数学视野，了解近现代数学的基本思想和方法及其解决生活和生产实际问题中的应用.