新教材培训:函数及其应用 - 江苏省淮安工业中等专业学校

新教材培训:函数及其应用
2005/12/3 　　网管中心　　　关注度:2106
第二章函数及其应用
(报告人　陈学礼)
一、本章教学要求：
1．使学生理解函数的定义、定义域和值域等概念，理解一一对应函数的概念，了解函数的三种表示方法及其实际背景，会用适当的方法表示函数关系．
2．使学生会根据函数的解析式求函数的自然定义域和限定定义域，了解自然定义域和限定定义域的必要性和相互关系．
3．理解函数增减性和奇偶性的概念，理解函数奇偶性与图象对称性的关系，会根据图象说出函数的增减性和奇偶性，会根据图象的解析式证明函数的奇偶性（提高部分还要求学生会根据函数解析式证明函数的增减性）．了解函数的周期现象．
4．要求学生了解分段函数的概念，会用解析式表示分段函数，会求分段函数的定义域和值域，会根据图象判断分段函数在各分段定义域上的增减性和奇偶性．
5．掌握利用《几何画板》软件作函数图象的方法，通过作函数的图象体会函数的定义域、值域以及函数的有关性质．
6．了解函数在实际应用中的普遍性和重要性，会初步根据实际问题表示函数关系，会初步应用函数方法解实际问题．
二、本章教学建议：
1．本章内容在整个教材中占有重要地位．函数是数学的重要组成部分，应用函数知识处理问题的思想方法和数形结合的思想方法是数学中的重点．在教学中要突出思想方法，重视概念、知识和技能．
2．关于函数的知识，学生在初中阶段已学过的概念、表示法、自变量的取值范围以及一次函数、反比例函数和二次函数的解析式和图象等内容．在本章教学前，教师要深入了解学生已有的相关知识和技能，做好初高中的衔接．
3．函数的性质是本章的重点，学生也是初次接触，有一定的难度．函数性质的教学要突出数形结合，函数奇偶性的证明和提高部分中函数增减性的证明是本章的难点．
4．从初中教材来看，学生初次接触分段函数，但在初中实际教学中，学生已初步接触过分段函数的现象和有关的应用题，但还没有系统的概念和知识．分段函数的教学要知识数形结合．
5．本章安排了一节让学生根据函数的解析式利用《几何画板》作函数图象的实践课．该实践课具有非常重要的意义，是学生体会函数定义域、值域和函数性质的重要途径，是培养学生数形结合思想的重要手段．教学中不可忽视．
三、本章课时安排：（基础部分7课时，提高部分2课时）
1．基础部分共7课时：
§2.1 函数的概念及其表示法 1课时
§2.2 解析法表示函数时的定义域和值域 1课时
§2.3 函数的基本性质 2课时
§2.4 分段函数 1课时
§2.5 实践课：利用计算机作函数的图象 1课时
§2.6 函数的实践应用 1课时
第二章复习与测试
2．提高部分共2课时：
§2.2的提高部分 1课时
§2.3的提高部分 1课时
四、各节内容分析及教学建议：
§2.1 函数的概念及其表示法
(一)教材内容：
　引言：客观世界中两个变量之间，可能不存在联系，也可能存在着或疏或密的联系．这种联系，大致可以分为三大类：
第一类，两个变量之间没有关系．
第二类，两个变量之间有统计意义上的联系．
第三类，两个变量之间有函数关系．
1．函数的概念
(1)函数；
(2)一一对应函数．
2．函数表示法
3．(1)列表法；(2)图象法；(3)解析法．
(二)内容分析和教学建议
1．内容分析
本节内容主要是函数的概念和函数的表示法．函数的概念中，有函数的定义、定义域和值域，还有一一对应函数的概念．函数的表示法有列表法、图象法和解析法三种．这部分内容，除一一对应函数的概念外，学生在初中都已初步学习过，但本节并非机械重复，而是在内容上和研究问题的层次上有了相应的提高．在函数概念中，引入了记号f(x)，定义域D和值域M；在一一对应函数中，提高图象说明“唯一一个数y”与“有唯一的x，使y＝f(x)”的区别．
2．教学建议
要求学生理解函数的概念，理解“唯一一个数y与之对应”的含义，理解函数定义域和值域的概念，会判断给出的关系是否是函数关系或是一一对应的函数关系；了解函数的三中表示法，会在列表法和图象法表示的函数中查找相应的自变量和函数值以及求出定义域和值域．
教学中，要求学生会在理解的基础上说出函数的定义，教师要用数形结合的方法讲清函数中“唯一一个数y与之对应”和一一对应函数中“有唯一的x，使y＝f(x)”的含义．
§2.2 函数用解析法表示时的定义域和值域
(一)教材内容：
1．用解析法表示函数时的自然定义域和限定定义域
(1)两类定义域
(2)自然定义域的求法
2．解析法表示函数时的值域
(二)内容分析和教学建议
1．内容分析
本节内容主要是根据解析式求函数的定义域和值域．在求定义域之前给出了“自然定义域”和“限定定义域”的概念．这两个概念的提出是很有必要的，它们在实际问题中经常遇到．一般教科书中没有提出这两个概念，事实上这两个概念不会与数学中已有的概念相混淆，因此是可行的．
求函数的自然定义域教材中涉及三类问题：（1）函数的表达式为多项式；（2）函数的表达式为分式；（3）函数的表达式为根．因为二次不等式还没有教，所以本节中二次根号下的式次仅为一次式；另外，为简单起见，分式也只涉及分母为一次式的情况．
求函数的值域，本节只限于四类：（1）一次函数；（2）二次函数；（3）二次根号下的式子为一次式；（4）分母为一次式的分式．
本节有求函数定义域和值域的提高部分内容．
2．教学建议
掌握“自然定义域”和“限定定义域”的概念，会求一些简单的解析式表示的函数的定义域和值域．
本节内容以求解析式表示的函数的定义域和值域为主，这部分内容主要体现数学技能，教学方法主要是教师讲解，学生认真练习．教学中要强调解题的书写格式．具体的解题书写格式可参考“学生练习册”中相应的内容．
§2.3 函数的基本性质 2课时
(一)教材内容：
1．函数的增减性
(1)函数增减性的描述
(2)求函数的单调区间
2．函数的奇偶性和图象的对称性
(1)两种对称性
(2)特殊对称性的数学反映――偶函数和奇函数
①轴对称与偶函数
②中心对称与奇函数
3. 周期现象及函数的周期性和周期
(1)变化的周期现象
(2)周期函数的图象特征和周期
(二)内容分析和教学建议
1．内容分析
本节主要内容的函数的增减性、奇偶性和周期性．函数的性质也是本章的重点．要求学生掌握函数的增减性和奇偶性，了解函数的周期性．
本节中函数的增减性主要借助于函数的图象来判断的．函数的奇偶性和函数的对称性有密切的联系，但它们是两个不同的概念．本节中函数的奇偶性除借助于体现来判断外，还要求通过数学运算来进行证明．函数的周期性及周期只是通过图象来认识．
本节把函数的单调性的数学定义和证明作为提高部分的内容．
2．教学建议
函数的性质是本章的重点和难点，对概念的理解程度要求比较高．因此，本节教学中，要求学生能结合图象叙述有关概念，要求学生在理解的基础上解答问题．
基础部分要求数学运算来解答问题的只有奇偶性；提高部分还要求学生通过数学证明来解答有关单调性的问题．数学运算和论证，要求学生书写格式正确．
§2.4 分段函数 1课时
(一)教材内容：
1．分段函数的概念
2．分段函数举例
(二)内容分析和教学建议
1．内容分析
本节内容主要是研究在定义域中，自变量不同的取值范围，用含有自变量的不同的式子（包括常数）来表示对应法则的函数．这类问题，在数学本身或实际问题中经常遇到的．分段函数至少分成两段．用分段函数的概念来解问题，实际上就是把定义域分成几段，在每一段上考虑用什么解析式来本身函数关系．因此，分段函数与分类思想有密切的关系．
(2)教学建议
要求学生用分类思想来学习分段函数，掌握把定义域分成若干段，在每一段上用解析式表示函数关系的方法．会把解析式中含绝对值符号的函数写成分段函数的形式；掌握函数y＝sgn(x)和y＝[x]的概念和图象；会用分段函数解有关应用问题．
§2.5 实践课：利用计算机作函数的图象
(一)教材内容：
1．《几何画板》4.0的简单介绍
2．利用《几何画板》4.0作函数的图象(定义域为自然定义域)
(二)内容分析和教学建议
1．内容分析
本节内容是用《几何画板》软件绘制有关函数的图象，通过绘制函数的图象，感悟函数的性质．本节内容使数与形、函数与图象紧密结合起来，是认识函数的图象和性质的重要环节．
2．教学建议
有条件的学校要求学生一人一机，在计算机房上课，教师用投影机或在计算机上利用“教师演示/学生操作”切换的方法进行教学．个别没有条件学生上机的学校，也必须教师演示，教师和学生掌握《几何画板》软件的使用是十分必要的．本节课的教学内容不可舍去不上．本节属于操作课，教学中要让学生多练、多想、多体会．
本节课要充分做好课前准备，在课前要在计算机上安装好《几何画板》高于4.0版本的软件．
§2.6 函数的实际应用
(一)教材内容：
5个例题
(二)内容分析和教学建议
1．内容分析
本节内容是函数的实际应用举例．所举例题，有的是量与量之间的关系符合人们熟知的某个公式，例如，销售价格等于价格与销售量之积；路程等于速度与时间的积等等．这类问题轻车熟路，比较容易．有的是量与量之间的关系遵循人为的某种规定法则，例如，实发工资的计算方法；球类运动的计分方法等．有的是量与量之间的关系由实验数据反映出来的，例如，本节中的例4和例5．
2．教学建议
要让学生初步掌握简单的应用题的解法．本节教学中，要注意培养学生的阅读理解能力，寻找和整理数据的能力以及探求量与量之间的关系能力．在探求量与量之间的关系时，一般先要考虑哪些量符合已知的公式，再考虑哪些量之间有人为规定的联系；如果实验的数据或图表，还要去寻找在特定问题中的规律．培养求解应用题的能力是一个长期的过程，教学中要把应用能力的培养贯串于整个教学过程之中，安排于每一章节之中．