《几何画板》辅助教学举例 - 江苏省淮安工业中等专业学校

《几何画板》辅助教学举例
2005/12/2 　　网管中心　　　关注度:1686
《几何画板》辅助教学举例

　　作为专为数学教学设计的软件《几何画板》，因具有完备的功能，操作简便，深受中学数学教师的喜爱，而将《几何画板》直接用于课堂教学，既改变了教师教学模式，也改变了学生学数学的模式，收到较好的效果。

　　一、绘制函数图像，帮助学生分析问题

　　现行教课书中，学习的基本初等函数，贯穿整个高中阶段的学习，学生对这些“基本初等函数”从定义域、值域、图像、性质的掌握并不觉得困难，但由这些基本初等函数经有限次加、减、乘、除、乘方、开方、复合生成的初等函数，学生在学习中感觉不好理解。在数学学习中，“数形结合”是传统的、形之有效的教与学的方法，而往往一个并不复杂的函数，想绘制草图都很困难。苦于条件限制，教师在教学中也只是就基本初等函数具有的性质根据复合函数、单调性等定义，反复讲解复合后的函数性质，从理论到理论，但效果也并不理想，往往需要配备大量的重复的练习才能使接受能力较好的同学摸到一些门道。

　　我在这段内容的教学中，使用《几何画板》中“绘制新函数”功能，较好地解决了这个问题。

　　例：讨论y=log2[(x-2)2-2]的性质

　　刚刚学过对数函数，学生知道logaX的函数在a＞1时是增函数，所以立即有学生回答这是增函数，对于学生的积极性，我并没有立即肯定、或否定学生的回答，而是用《几何画板》当场作出函数的图像。操作如下：打开《几何画板》，选择“图表”菜单，下拉到“绘制新函数”单击，在计算器中输入函数y= 。单击“确定”。

　　出现如图画面。

　　结合函数图像，再请学生分析：①图像为什么是这样的？②解题应从哪些方面入手？③怎样根据定义，写出

　　解题过程？④如果改变底数“2”为“ ”会怎样？⑤y= 图像与y= 的图像有什么共性？这个共性是怎样产生的？⑥如果函数是y=a(x-2)-2,(a＞0,a≠1)会有怎样的性质？

　　随着一系列问题的不断探讨，并获得解决，使学生从感性认识上升到理性认识，而这个图像也使学生加深了对复合函数的认识，掌握讨论并解决这类问题的有效办法。

　　二、利用“轨迹”画图功能，让学生实践“转移法”。

　　“转移法”或称“代入法”是学生解题实践中的重要方法之一。高中数学中较早使用这种方法可能要数“奇偶函数知一半而求另一半”了，新教材对“函数奇偶性”没有在函数性质中出现，而是作为三角函数的一个性质出现的，可见新教材对“函数奇偶性”是欲舍不能的。鉴于它对讨论函数性质的重要性，和解题方法的代表性，我进行了下例课堂实例：

　　设y=f(x)是R上的奇函数，x＞0时，f(x)=2x2-4x+1

　　求x＜0时，f(x)的表达式。

　　教学过程：

　　1.利用《几何画板》作出y=f(x)(x＜0)的图像

　　①作f(x)=2x2-4x+1(x＞0)图像

　　②在图像上取一动点A，并选中，同时选原点O，

　　③下拉“变换”菜单中“标记向量”单击，工作区会闪现“A…………O”；

　　④选中圆点O，下拉“变换”菜单中的“平移”，弹出一对话框，单击“确定”，工作区出现了A关于圆点O的对标点A′；

　　⑤单击右键，在快捷菜单中单击“追踪点”，设置A点运动观察A'点轨迹；

　　⑤'同时选中A′、A，下拉“构造”菜单中的“轨迹”，单击，工作区便出现了f(x)=2x2-4+1关于原点O对称的曲线y=f(x),(x＜0)的图像。

　　2.讨论y=f(x)(x＜0)的解析式及求法

　　通过观察、分析、讨论，请学生叙述讨论结果。

　　学生甲：y=f(x)(x＞0)的图像是抛物线的一段，它关于原点对称的另一半肯定也是一段抛物线，与已知的一段开口大小一样，仅是方向不同，且已知的抛物线对称轴方程是“x=1”，顶点坐标是(1，-1)，它们关于原点对称的对称轴方程是x=-1，顶点(-1，1)，所以若设y=f(x)=a(x-m)2+n(x＜0)时,就有a=-2, m=-1, n=1。所以表达式为f(x)=-2x2-4x-1 (x＜0)。

　　教师：很好，结果也完全正确。先定形，再求解析式，是“待定系数法”的具体应用。第二个问题是：你怎么知道欲求的函数是抛物线的二次函数呢？如果这个函数的图像不是我们熟悉的，也就是在你不能先假设“所求函数为f(x)=a(x-m)2+n,(x＜0)”时，怎么办？

　　同学们立刻热闹起来，七嘴八舌，但很快恢复平静，因为一时的确没有什么好办法。

　　教师：再看图像的作法，(隐藏“轨迹”)，图像是A′运动产生的，事先我们知道A′点如何运动吗？——不知道。A′是怎么来的？——是A关于原点O的对称点。若设A′(x、y)，则A(-x,-y),A点怎么运动知道吗？已有学生看出端倪，即请他回答。

　　生：A在f(x)=2x2-4+1上运动，它的坐标应该适合函数表达式，将(-x,-y)代入y=2x2-4x+1即可得-y=2x2+4x+1

　　y=-2x2-4x-1,这就是A′点x、y之间的关系式，即所求函数f(x)=-2x2-4x-1 (x＜0)。

　　3.归纳、总结解题过程并提高

　　师：完全正确。现在，我们将已知函数仅用y=f(x) (x＞0)表示，完成解题过程。(略)这个过程体现了求曲线方程的“转移法”,请同学们自己体会一下，转移什么？怎样转移的。如果将原点改成y轴，我们将得到什么函数解析式(图像)。

　　三、使用《几何画板》有助于培养学生的逻辑性，严密性

　　现在课堂教学中，多媒体的优越性已越来越得到认可。与此同时，课件的制作就成了多媒体课堂教学中重要的组成部分，由于课件制作是脑力劳动，体力劳动的结合，且有些课件制作还相当费时，所以现在有些多媒体课堂教学中，制作的课件成了“演示”品，教师上课不由自主地在存在“演示”课件现象，这多少有点背离多媒体课堂教学的初衷。

　　《几何画板》由于基本操作简单，很多“课件”可以也应该在课堂上当场完成，条件许可的情况下，由学生自己绘制图像效果更好。

　　在学习《几何画板》“基本操作”这节课里，我让学生在基本操作学习之后，绘“变化参数a、b、c的值，看函数y=ax2+bx+c图像变化”的页面。

　　有同学将页面绘成了下图。(错选了横、纵坐标值的先后顺序)，有同学在大功将告成时，突然消失了页面上许多元素，(误操作删除了父对象，其子对象自然删除)急得想哭。

　　《几何画板》中所有“构造”功能，都是由欧几里德几何作基础的，因此所有“功能”不能实现的操作都是条件不具备(充分条件不具备)，而点击对象后设置运动，运动的结果不是目标中想要的结果(如满屏内容乱跑)那一定是目标结果的充分条件错了。

　　这节课里，有几点收获：

　　一是通过自己操作切身体验，变学数学为做数学，充分体会到数学的逻辑性，严密性的重要意义，比老师反复强调“说话(解题)要言之有据”效果好得多。

　　二是学生自己使用这个软件后，对过去学过的一些知识，借助计算机进行了检验，实现了对知识的再认识。如学生自己讨论有限区间上的二次函数性质，加深了对这一函数性质的理解。

　　三是建构新的学习模式。传统学习模式一般是：听老师讲解新概念，看老师举例帮助理解，仿例题式样完成作业，做大量课外练习使知识巩固。通过《几何画板》基本操作课的学习，有的学生已悟出学习的新模式：听老师讲解新概念，猜想新概念将会产生的作用，用计算机模拟验证猜想，归纳整理成理性文字(笔记、作业)指导进一步的学习。